Palmer nació en Cedar Falls, Iowa, y se graduó en arquitectura en la Universidad de Illinois en 1919. Se mudó a Oak Park, Illinois en 1921 y se involucró en el movimiento escolar Prairie. Trabajó para Frank Lloyd Wright durante un breve tiempo antes de abrir su propia práctica en 1922.
Los diseños de Palmer fueron influenciados por Wright, pero también desarrolló su propio estilo único. Era conocido por su uso de formas simples, materiales naturales y planos de planta abiertos. También incorporó frecuentemente elementos de la naturaleza en sus diseños, como jardines, terrazas y piscinas.
Palmer diseñó más de 1000 casas y otros edificios durante su carrera. Muchas de sus obras están ubicadas en el área de Chicago, pero también diseñó proyectos en otras partes de Estados Unidos y Canadá. Algunas de sus obras más notables incluyen Palmer House (1927), Winnetka Community House (1928) y Chicago Botanic Garden (1940).
Palmer también fue profesor de arquitectura en el Instituto de Tecnología de Illinois de 1945 a 1968. Fue miembro del Instituto Americano de Arquitectos y recibió numerosos premios por su trabajo, incluida la Medalla de Oro AIA en 1967.
Palmer murió en Oak Park, Illinois, en 1978. Su legado continúa a través de su trabajo, considerado uno de los mejores ejemplos de arquitectura escolar de Prairie.