¿Es una cuarteta cuando las líneas 1 y 2 riman entre sí y luego las 3 y 4 entre sí?

No, no es una cuarteta cuando los versos 1 y 2 riman entre sí y los versos 3 y 4 riman entre sí. Una cuarteta es una estrofa de cuatro versos en la que el primero y el tercero riman y el segundo y el cuarto riman.