Begay nació en Tuba City, Arizona, el 11 de enero de 1954. Creció en la reserva navajo, donde aprendió sobre la cultura tradicional navajo de sus padres y abuelos. Begay comenzó a dibujar y pintar a una edad temprana y pronto se dio cuenta de que tenía talento para el arte.
Después de graduarse de la escuela secundaria, Begay estudió arte en el Instituto de Artes Indígenas Americanas en Santa Fe, Nuevo México. Luego asistió a la Universidad de Arizona, donde obtuvo una licenciatura en Bellas Artes.
Las pinturas de Begay representan una variedad de temas, incluidas ceremonias, rituales y la vida cotidiana de los navajos. Su trabajo se caracteriza por sus colores vibrantes, patrones intrincados y un fuerte sentido de espiritualidad. Las pinturas de Begay han sido elogiadas por su belleza, su significado cultural y su capacidad para capturar la esencia de la vida navajo.
El trabajo de Begay se ha exhibido en museos y galerías de todo el mundo, incluido el Instituto Smithsonian, el Museo Heard y el Museo de Arte Moderno. También ha recibido numerosos premios, incluida la Beca del Fondo Nacional de las Artes, el Premio de las Artes del Gobernador de Arizona y los Premios de Arte Nativos Americanos.
El trabajo de Begay continúa inspirando y educando a los espectadores sobre la cultura navajo. Es considerado uno de los artistas nativos americanos más importantes de su generación.
Begay murió de cáncer el 17 de agosto de 2012 en Tuba City, Arizona. Tenía 58 años.