Poche fue seleccionado por los Angelinos en la segunda ronda del draft de 1986. Hizo su debut en las Grandes Ligas con los Angelinos en 1989 y pasó la mayor parte de las siguientes tres temporadas con el equipo. En 1992 fue traspasado a los Rojos, donde pasó las siguientes cuatro temporadas. Terminó su carrera en las Grandes Ligas con los Padres en 1996.
En general, Poche registró un récord de 53-52 con una efectividad de 4.26 en 157 juegos de su carrera. Ponchó a 535 bateadores en 923 entradas lanzadas.
Después de retirarse del béisbol, Poche se convirtió en entrenador de lanzadores. Ha trabajado en los sistemas de ligas menores de los Angelinos, Rojos y Marineros de Seattle. Actualmente es el entrenador de lanzadores de los Louisville Bats, la filial Triple-A de los Cincinnati Reds.